Многие диковинки из области теории чисел можно с успехом демонстрировать как карточные фокусы. В качестве примера приведем следующий фокус. Он основан на том, что если умножить "циклическое число" 142857 на любое целое число от 2 до 6, то получится число, составленное из тех же цифр с круговой (циклической) их перестановкой.
Фокус состоит в следующем. Зрителю даются пять карт красной масти, имеющие числовые значения 2, 3, 4, 5 и 6. Себе же показывающий берет шесть карт черной масти, размещая их так, чтобы их числовые значения соответствовали цифрам числа 142857. Как показывающий, так и зритель тасуют свои карты; при этом показывающий только делает вид, что тасует, а в самом деле сохраняет и порядок неизменным. (Этого можно легко добиться, дважды перекладывая карты по одной с одной стороны колоды на другую. Быстрое выполнение этой операции создает полное впечатление тасовки, хотя весь эффект состоит в том, что расположение карт дважды меняется на обратное оставляя таким образом первоначальный порядок неизменным.)
Показывающий раскладывает на столе карты в ряд, лицевой стороной кверху, образуя число 142857. Зритель вытягивает одну из своих карт и кладет ее лицевой стороной вверх под рядом, разложенным показывающим. С помощью карандаша и бумаги зритель перемножает наше число на числовое значение вытянутой им карты. Пока он занят этим делом, показывающий собирает свои карты, накладывает на первую слева карту соседнюю, затем на нее соседнюю и т. д., "снимает" их один раз и снова кладет на стол кучкой (лицевой стороной книзу). ("Снять" колоду, означает: разделив колоду на две части, поменять их местами. Если карты колоды записать последовательно на окружности (образовать "цикл"), то операция "снятия", не меняя порядка карт в цикле, изменяет только начало отсчета. ) После того как зритель выполнит умножение, показывающий берет свою кучку карт и снова раскладывает их слева направо лицевой стороной кверху. Шестизначное число, которое при этом получается, в точности совпадает с результатом умножения, найденным зрителем.

Секрет фокуса:

Карты черной масти показывающий собирает, не нарушая порядка, в котором они были разложены. Допустим, что зритель умножал наше число на 6; тогда произведение должно оканчиваться двойкой, так как шесть раз по семь (это последняя цифра множимого) будет сорок два. Если снять так, чтобы двойка оказалась внизу, то после того как карты будут разложены в ряд, она окажется последней картой и изображаемое картами число совпадет с ответом, полученным зрителем.
Циклическое число 142857 является обратным по отношению к простому числу 7 в том смысле, что оно получается от деления 1 на 7. Выполняя это деление, мы получаем бесконечную периодическую дробь с периодом, совпадающим с нашим циклическим числом. Другие, большие, циклические числа также можно получить путем деления единицы на большие простые числа.

Кто-нибудь из зрителей тасует колоду карт и кладет ее на стол. Показывающий пишет название карты на листке бумаги и, не показывая никому написанного, переворачивает листок надписью вниз.
После этого на столе раскладываются 12 карт лицевой стороной вниз. Кого-нибудь из присутствующих просят указать четыре из них. Эти карты тут же открываются, а оставшиеся восемь карт собираются и кладутся под колоду.
Предположим, что были открыты тройка, шестерка, десятка и король. Показывающий говорит, что на каждую из этих четырех карт он будет укладывать карты из колоды до тех пор, пока не досчитает до десяти, начиная с числа, следующего за числовым значением данной карты. Так, например, на тройку придется положить семь карт, произнося при этом: "4, 5, 6, 7, 8, 9, 10"; на шестерку нужно будет уложить четыре карты; на десятку класть ничего не придется; фигурной карте в этом фокусе также приписывается числовое значение 10.
Затем числовые значения карт складываются:
3+6+ 10+10=29.
Остаток колоды передается зрителю, и его просят отсчитать 29 карт. Последняя из них открывается. Листок с предсказанной заранее картой переворачивается, и написанное читается вслух. Конечно, там будет название только что открытой карты!

Секрет фокуса:

После того как колода будет перетасована, показывающий должен незаметно посмотреть, какая карта лежит внизу колоды. Именно эту карту он и предсказывает. Все остальное выходит само собой. После того как восемь из двенадцати карт будут собраны и положены под колоду, замеченная карта окажется по порядку сороковой. Если все операции, о которых говорилось выше, были выполнены правильно, мы неизменно будем приходить к этой карте. (Истинная цель действий показывающего сводится к отсчету с помощью зрителя сорока карт, причем так, чтобы зритель не догадался об этом. Если х1, х2, х3, х4 - числовые значения взятых карт, то откладывается соответственно 10 - х1, 10 - х2, 10 - х3, 10 - х4 карт; всего отложено 40 - х1 - x2 - х3 - х4 карт, следовательно, до 40 не хватает как раз x1 + х2 + х3 + х4 карт.) То обстоятельство, что колода вначале тасуется, делает этот фокус особенно эффектным.
Интересно заметить, что в описанном фокусе, как и в других, основанных на том же принципе, показывающий может разрешить зрителю приписывать любые числовые значения валетам, дамам и королям. Например, зритель может пожелать считать каждый валет тройкой, даму - семеркой, а короля - четверкой. Это никак не скажется на показе фокуса и может придать ему больше "таинственности".
Фокус, собственно, требует только одного: чтобы в колоде были 52 карты; какие это будут карты, не играет ни малейшей роли. Если все они будут двойками, фокус тоже получится. Это означает, что зритель может приписать любой карте новое значение, какое ему вздумается, причем это не повлияет на успех фокуса.

Пока показывающий стоит спиной к зрителям, кто-нибудь из них вынимает карту из колоды, кладет её в карман и тасует колоду. Затем показывающий поворачивается, берет колоду и начинает выкладывать карты по одной лицевой стороной кверху. После того как выйдут все карты, он называет недостающую.

Секрет фокуса:

Числовое значение недостающей карты можно установить, подсчитав в уме сумму числовых значений карт, выложенных на стол. При этом валетам приписывают значение 11, дамам 12. Королей можно считать нулями и не учитывать вовсе. Без королей сумма числовых значений всех карт в полной колоде равна 312. Поэтому, чтобы найти числовое значение отсутствующей карты, нужно из 312 отнять сумму числовых значений 51 карты. Если эта последняя сумма окажется равной 312, то недостающая карта - король.
При показе этого фокуса важно владеть методами быстрого счета. Так, например, очевидно, что, прибавляя 11, удобно сначала прибавить 10, а затем еще единицу, а для прибавления 12 вы сначала прибавляете 10, а затем двойку. Дальнейшего увеличения быстроты счета можно достичь путем "отбрасывания двадцаток", т. е. считая по модулю 20. Иначе говоря, как только сумма превзойдет 20, отбросьте это число и держите в памяти только остаток. После того как будет положена последняя карта, вам придется запомнить небольшое число от 0 до 12 включительно. Отнимите это число от 12, и вы получите числовое значение отсутствующей карты. Если последней суммой окажется 12, то недостающая карта-король. Нам кажется, что исключение "двадцаток" - лучший способ убыстрения счета. Однако многие предпочитают в этом случае отбрасывать 13. Тогда, например, складывая 7 и 8 и отбрасывая 13, вы запоминаете 2. Вместо добавления 11 (в случае валета) и последующего отбрасывания 13 проще, ничего не добавляя, вычесть 2. В случае дамы отбросьте 1. Ясно, что королей принимать во внимание не нужно, Закончив подсчет, отнимите последнюю цифру от 13 и вы получите числовое значение спрятанной карты. После того как оно найдено, можно, конечно, сдавая карты вторично, узнать масть отсутствующей карты. Однако при этом сразу раскрывается секрет фокуса. Как же определить масть карты при первой раскладке - одновременно с ее числовым значением?
Один из способов, - правда трудный, если вы не владеете техникой быстрого счета в уме, - это одновременное запоминание суммарного числа для масти и такого же числа для числового значения карты. Припишем, например, картам пиковой масти числовое значение 1, трефовой - 2, червонной - 3, бубновой - нуль (и в расчет их не принимаем). При сложении отбрасываются десятки, и в итоге получается одно из четырех чисел: 5, 6, 7 или 8. Отнимая его от восьми, вы найдете масть спрятанной карты.
Вот другой метод прослеживания сумм числовых значений карт и числовых значений мастей. Установим какой-нибудь порядок мастей, скажем, пики, червы, трефы, бубны. Прежде чем открыть первую карту, скажем про себя: 0-0-0-0. Если первой картой окажется, например, семерка черв, произнесите про себя 0-7-0-0. Если следующей картой будет, скажем, пятерка бубен, счет изменяется на 0-7-0-5. Другими словами, приходится держать в памяти изменяющуюся сумму по всем четырем мастям. Если из колоды изъята только одна карта, то при подсчете всех четырех изменяющихся сумм необходимо включать королей. Сумма числовых значений карт для каждой из четырех мастей должна быть в этом случае равна 91. Но так как одна карта спрятана, сумма для соответствующей масти будет меньшей. Так, если вы закончили счетом 91-91-90-91, то это значит, что отсутствует туз Треф. Отбрасывая двадцатки, можно, как и раньше, облегчить себе подсчет. При этом для получения числового значения отсутствующей карты последнюю найденную сумму нужно отнять от 11; если же она больше 11, то ее следует отнять от 31. (Впрочем, можно просто запомнить, что конечные суммы 20, 19 и 18 отвечают соответственно валету, даме и королю.)
Преимущество этого способа состоит в том, что удалять можно не одну карту, а сразу четыре - по одной каждой масти, при этом отгадать четыре карты будет не труднее, чем одну. В этом варианте королей можно не учитывать, так как заранее известно, что отсутствует по одной карте каждой масти. Конечной суммой для каждой масти теперь будет 78. (Короли не учитываются!) Отбросив три раза по 20, получим 18. Таким образом, конечная цепочка 7-16-13-18 укажет, что отсутствуют следующие карты: валет пик, двойка черв, пятерка треф и король бубен.
Однако удерживать в памяти четыре меняющиеся цифры нелегко.
Чтобы обойти эту трудность, мы рекомендуем пользоваться в качестве "секретного" счетного приспособления... ногами. Если при раскладке карт вы сидите за столом и ваши ноги скрыты от присутствующих, то маловероятно, что небольшие шевеления ими, которые здесь потребуются, будут кем-либо замечены.
В начале фокуса поставьте ноги так, чтобы подошвы ботинок прилегали к полу. Сдавая карту на стол, подымайте или опускайте носки ботинок по следующей системе. Появление карты пиковой масти отмечайте приподыманием или опусканием носка левого ботинка. Точнее говоря, с появлением первой такой карты приподымайте носок, второй - опускайте, третьей - снова приподымайте, и т. д. Если карта червонной масти, то приподымайте или опускайте носок правого ботинка. Если карта окажется трефовой, то меняйте одновременно положение обоих носков. При появлении бубновой карты вообще не меняйте положения носков. После того как положена последняя карта, вы так узнаете масть отсутствующей карты: если левый носок на полу - карта красной масти, если приподнят - черной, если правый носок на полу, карта будет пиковой или бубновой масти; если правый носок приподнят - трефовой или червонной. Имея в виду вышесказанное, легко узнать масть спрятанной карты. Так, если оба носка на полу, карта будет бубновой масти. Если оба носка приподняты - трефовой масти, если приподнят один левый носок - пиковой, а если приподнят один правый - червонной.
В качестве простейшего счетного приспособления при нахождении числовых значений карт можно использовать пальцы рук. Показывающий при этом держит руки на коленях, а карты (медленно) сдаются кем-нибудь из присутствующих. Пальцы перенумеровываются слева направо от 1 до 10. При появлении карты приподымается или опускается соответствующий палец. Валеты отмечаются перемещением левой руки вперед по ноге или назад, дамы - такими же движениями правой руки. Короли не принимаются во внимание. За мастями можно следить, двигая носками ботинок так, как это объяснялось выше.
Пользуясь пальцами как счетным приспособлением, можно находить числовые значения не только одной, но и нескольких вынутых из колоды карт, при условии, что эти значения не совпадают друг с другом. Для этого нужно лишь отметить, какие пальцы будут приподняты при окончании раскладки (или какая рука продвинута вперед). Конечно, при этом нужно знать, сколько было спрятано карт, так как определить, что отсутствует король, можно только, не принимая во внимание при подсчетах одной карты.

Вы даете зрителю перетасовать колоду карт и кладете ее на стол. Потом вы записываете на листке бумаги название карты и, не показывая никому написанного, переворачиваете листок.Затем на столе раскладываются 12 карт лицевой стороной вниз. Просите зрителей выбрать четыре из них. Эти карты вы переворачиваете лицевой стороной, остальные восемь карт собираете и кладете под колоду. Пусть вы открыли тройку, шестёрку, десятку и короля. Объясняете зрителям, что на каждую из этих четырех карт вы положите столько карт, чтобы это количество в сумме с лежащей картой давало 10. Это значит, что вы. называете величину лежащей карты и с каждой, следующей карты начинаете продолжать счет до 10. Например, на тройку положить четыре карты; у придется положить семь карт, считая: «4, 5, 6, 7, 8, 9, 10»; на шестерку вы должны на десятку класть ничего не нужно. В этом фокусе фигура имеет значение 10. После этого вы складываете числовые значения карт:3+ 6+ 10 + 10= 29 Остаток колоды вы отдаете зрителю и просите отсчитать 29 карт. Открываете последнюю из них и показываете свою запись на листке. Все с удивлением видят, что вы правильно написали только что открытую карту.

Секрет фокуса.

В этом фокусе вы просто запоминаете нижнюю карту колоды, после того как колода перетасована. Именно эту карту вы и напишете на листке. Все остальное понятно.
После того как восемь из двенадцати карт будут собраны и положены под колоду, замеченная карта находится в колоде сороковой. Если вы не ошибетесь со всеми остальными описанными манипуляциями, то вы обязательно откроете именно эту карту. Предварительная тасовка колоды придает фокусу дополнительный эффект. Отметим, что в данном фокусе, как и в других, основанных на таком же принципе, вы можете разрешить зрителям давать любые числовые значения валетам, дамам и королям. Например, зрители решат считать каждый валет тройкой, даму — семеркой, а короля — четверкой. Это совершенно не важно для данного фокуса. Использование таких разных значений только придаст таинственности происходящему. Вы должны соблюсти только главное условие фокуса — чтобы в колоде было 52 карты. Совершенно не важно, какие именно это карты. Если даже в колоде окажутся только двойки, то фокус тоже получится.

Зрителя просят снять колоду примерно посередине, взяв себе любую половину и пересчитать в ней карты. Допустим, их 24. Два плюс четыре дает шесть. Зритель замечает в своей полуколоде шестую карту снизу, кладет эту полуколоду на другую и, подравняв карты, вручает их показывающему. Последний начинает сдавать карты по одной на стол, произнося при этом побуквенно фразу "М-а-н-х-е-т-т-е-н-с-к-и-е ч-у-д-е-с-а", причем так, чтобы на каждую положенную карту приходилось по одной букве. Вместе с последней буквой появится замеченная карта.

Секрет фокуса:

В результате описанной процедуры выбранная карта всегда оказывается на девятнадцатом месте сверху. Поэтому любая девятнадцатибуквенная фраза, например "П-о-р-а-з-и-т-е-л-ь-н-ы-е ф-о-к-у-с-ы", приводит к нужной карте. (Для любого числа между 20 и 29 разность между этим числом и суммой его цифр всегда равна 18. Чтобы фокус удался, нужно, чтобы часть колоды, "снятая" зрителем, насчитывала не менее 20 и не более 29 карт.)

Этот фокус позволяет найти задуманную карту.

Секрет фокуса:

Перетасовав колоду, показывающий выкладывает кучку в девять карт лицевой стороной вниз. Зритель выбирает одну из этих карт, запоминает ее и кладет на верх кучки. Оставшаяся часть колоды кладется на кучку, и таким образом, замеченная карта оказывается девятой снизу.
Теперь показывающий берет колоду и начинает выкладывать карты по одной в кучку лицевой стороной кверху, считая при этом вслух в обратном порядке от 10 до 1. Если числовое значение положенной карты случайно совпадает с называемой цифрой (например, появилась четверка в то время, когда он произнес: "четыре"), то откладывание карт в эту кучку прекращается и начинается откладывание следующей кучки. Если же такого совпадения появляющейся карты и произносимого числа не произошло, то отсчитывание заканчивается на цифре 1 и кучка "бьется", т. е. накрывается следующей по порядку картой (лицевой стороной вниз), взятой сверху колоды.
Так выкладываются четыре кучки, после чего числовые значения "непобитых" (открытых) карт, лежащих сверху кучек, складываются. Отсчитав теперь из колоды это число карт, зритель обнаруживает под последней из них выбранную им карту. Этот вариант фокуса гораздо эффектнее прежнего, так как выбор карт, входящих в сумму, кажется совершенно случайным, а "принцип компенсации", на котором основан фокус, скрыт значительно глубже. (Девятая карта снизу является сорок четвертой сверху. Если совпадения не происходит, откладывается 11 карт. Если совпадение происходит на карте с числовым значением n, то отсчитано, считая и ее, 11 - n карт; зритель затем отсчитывает n карт, что дает снова 11 карт. Четырехкратное повторение процедуры дает 44 карты, что и требуется.)

Шестнадцать карт раскладываются на столе лицевой стороной вверх в виде квадрата по четыре карты в ряд. Кому-нибудь предлагается задумать одну карту и сообщить показывающему, в каком вертикальном ряду она лежит. Затем карты собираются правой рукой по вертикальным рядам и последовательно складываются в левую руку. После этого карты снова раскладываются в виде квадрата последовательно по горизонталям; таким образом, карты, лежавшие при первоначальной раскладке в одном и том же вертикальном ряду, теперь оказываются в одном и том же горизонтальном ряду. Показывающему нужно запомнить, в каком из них лежит теперь задуманная карта.
Далее зрителя просят еще раз указать, в каком вертикальном ряду он видит свою карту. Понятно, что после этого показывающий может сразу же указать задуманную карту, которая будет лежать на пересечении только что названного вертикального ряда и горизонтального ряда, в котором, как известно, она должна находиться.

Секрет фокуса:

Успех этого фокуса, конечно, зависит от того, следит ли зритель за процедурой настолько внимательно, чтобы распознать суть дела.

Держа в руках колоду карт вверх рубашкой, вы предлагаете кому-нибудь вытащить любую карту и запомнить ее, а затем снова положить в колоду и перетасовать. Можно еще дать перетасовать и другому человеку.
Получив колоду в руки, вы сможете сразу же вытащить, показать и назвать эту карту.

Секрет фокуса:

Секрет заключается в подготовленной колоде. С одной стороны край колоды срезан наискосок на 0,5 — 1 мм. Внешне это совершенно незаметно, но на ощупь карта определяется мгновенно, если перед тем, как вернуть карту, вы «случайно» повернете колоду на 180 градусов. Поскольку зритель свою карту не переворачивал, то искомая карта на одном краю будет выступать — всего чуть-чуть, но этого достаточно.

Можно из 21 карты легко угадать задуманную.

Секрет фокуса:

Отделив из колоды 21 карту, раскладывайте их в три ряда на стол и просите сказать вам только, в котором ряду находится задуманная карта. Тогда соберите карты так, чтобы ряд, где находится карта, был посредине, и вторично раскладывайте карты опять в три ряда, но не горизонтально, а перпендикулярно, и снова спросите, в котором ряду задуманная карта? Опять соберите так же и, в третий раз разложив горизонтально, спросите: где находится карта? Опять соберите карты так, чтобы ряд с задуманной картой был посередине. Потом отсчитайте карты на стол, и задуманная будет всегда одиннадцатая с обоих концов.

Карты сами проходят сквозь колоду

Секрет фокуса:

Заранее положите в колоду рядом девятку и десятку бубновой и червовой мастей. Затем выберите из колоды десятку бубен и девятку червей. Покажите их присутствующим и спрячьте в разные места колоды.
Попросите затем кого-нибудь из присутствующих прихлопнуть колоду ладонью. Объясните окружающим, что от этого хлопка обе карты сойдутся вместе.
Раскройте колоду и покажите зрителям заранее уложенные карты: девятку бубен и десятку червей. Удивлению присутствующих нет предела, если, конечно, они были не очень внимательны.